能量不足的粒子還能滲進勢壘？《張朝陽的物理課》解密粒子在階梯勢場中的運動

“階梯勢場”是指在粒子傳播過程中會遇到一個有限高的臺階（如圖所示），當粒子的能量E大于勢壘的高度V時，粒子可以“部分地爬上階梯”繼續傳播，同時也有概率反射回去。在完成了計算后，張朝陽自然地想到一個問題：如果在勢場中，粒子的能量E < V時，粒子又將會怎么運動呢？

為了回答這個問題，我們首先要回顧在階梯勢場中解薛定諤方程的過程。從圖像很容易看出來，階梯勢場把整個空間劃分成了兩個片區。如果仍然暫且假定E > V，在x < 0的片區解薛定諤方程，我們得到波函數

其中

注意在這里為了計算簡便，我們用定態來建模運動的粒子——而不是一個具體的波包。波函數中相加和的兩項具有符號相反的波數，可以認為他們分別代表了向右傳播的入射部分，以及向左傳播的出射部分。而在x > 0的片區，我們取波函數

其中

在這里，考慮到我們的研究對象是一個從左側入射的粒子，在右半部分，基于物理的考慮，波函數不應該存在向左傳播的部分。利用波函數及其導函數應該在階梯x = 0處保持連續這一邊界條件，可以列出方程

可以解得

利用這個結果，即可以驗證粒子傳播過程中的概率流守恒。具體的計算細節我們已經在之前的課程中充分討論過，在這里不再贅述。

張朝陽注意到，在上面的計算過程中我們并沒有特別地依賴于所假設的能量條件E > V。換句話說，如果此時我們將條件換為E < V，具體的解法、最后得到的波函數和相應的結果會保持同樣的形式。而細節上，注意到由于平方根的存在，能量條件的改變會使越過階梯后波函數的“波數”變為虛數

這里我們可以重新定義正實數

相應地波函數的解改寫為

當α前面取正號時，波函數在無窮遠處會發散，是一支非物理的解。因此，我們知道在x > 0部分，波函數應取為

可以看到，在臺階一邊，粒子的波函數不再是傳播的，而是衰減的。這是因為粒子的能量不夠，不足以讓它“躍上臺階”繼續傳播到右方無窮遠處。此時，根據概率流守恒，應該期望這個粒子會被階梯勢壘完全反射。

為了驗證這一點，我們要具體地計算波函數的振幅。通過上面的計算我們可以看到，改變能量條件等價于替換

為了給兩種情況作區分，我們重新記

將替換應用到振幅的計算公式上，有

回想復數的基本知識，如圖所示，復數可以與復平面上的向量一一對應，而向量又可以用模長和輻角標記。

將復數k - iα用模長和幅角重新表達，有

其中模長

而幅角滿足

于是

計算可得粒子的反射率為

即粒子確實被勢壘完全反射回去了。

計算出振幅之后，在x > 0區域的波函數為

事實上，這個波函數蘊含了量子物理與經典物理之間的巨大差異。做一個形象的比喻，如果是一個經典的、躍不上臺階的剛球，它會被臺階直接反彈；但是一個原則上被階梯勢壘完全反射的粒子，依舊有概率滲透到勢壘內部。它大概能夠滲透到勢壘內部

處，這個寬度又稱為滲透寬度。這種滲透會伴隨波函數一個額外的相位偏移

稱為延遲相位，它的具體的物理意義在稍后的討論中會更加清晰地體現出來?，F在我們轉而看x < 0區域的波函數。代入振幅表達式后，反射部分的波函數

由于滲透現象，它會額外帶上2θ的相位偏移。兩倍可以形象地解釋為粒子跑進勢壘，再原路折返這個過程的體現。張朝陽將它比喻成粒子的“打洞”。首先不同于堅不可摧的無限高勢壘，粒子非常努力地試圖“深入敵后”。但是可惜臺階勢的“墻”厚度無窮大，挖了一段時間，粒子發現根本跑不過去，只好“回頭是岸”。所以總的結果而言，所有的粒子都會被遣返，也就是一個全反射的結果。

（張朝陽驗證能量不足的粒子被全反射）

波包在階梯勢壘中的駐留和延遲相位的物理意義

給定能量E，或者說對應的動量k，在x < 0區域的定態解為

在前面的學習中知道，一個真實存在的粒子應該用波包建?！皇莿恿勘菊鲬B。但是，前面的計算完全是圍繞動量本征態展開的，這種計算究竟有沒有意義？或者說僅僅是紙面上的結果嗎？張朝陽指出，對定態的討論自然有其實際的意義。不僅僅是前面提到的計算的簡便，更是因為一旦我們知道了定態的結果，我們其實就了解整個量子系統。在研究實際問題時，一個波包可以自然地被分解為不同定態的疊加。這些定態的成分按照我們了解的規律演化，最后再重新疊加起來得到我們想要的結果。事實上，我們在研究波函數隨時間的演化時，用的也是同樣的思路。

現在我們來考慮一個波包，它是一系列定態按照某種系數的疊加

這里注意不單頻率ω，相移θ同樣也是k的函數。為了簡化計算，我們利用前面討論群速度時用過的技巧，假設?是一個狹窄的函數，僅在

附近一個大小為Δk的區間上不為0。為了和前面的討論保持一致，我們還要求中心點對應的能量

積分中的第一項是一個正常向前傳播的部分，第二項體現了階梯勢壘導致的反射部分。對這樣一個狹窄波包的分析在計算上是可行的，同時物理上可以幫助我們更好地理解在粒子階梯勢場反射時的行為。

因為波包是狹窄的，積分僅在一個小區域上有意義，所以可以取

代入到波包的表達式中，先看入射的部分

我們曾經用這個方法討論過群速度的定義，關鍵在于把下標帶0的部分提到積分外，然后將積分換元為對變量Δk的積分

積分的結果是一個關于x和t的組合的函數。張朝陽提醒，和前面一樣，我們可以在初始時刻波包取在x = 0處的一點作為參考研究波包，當波包在運動時，這一點也隨之運動。但是該點的坐標和時間之間滿足關系

在前面，由該關系我們定義了群速度

對物質波，他對應了粒子的經典運動速度。

現在再看反射部分，利用同樣的思路，可以計算到

在積分號外的部分是一個有相位移動的平面波。再看振幅部分，同樣我們取其上滿足關系

的一點作為參考研究波包的運動。這里，我們希望參考點的選取和研究入射波部分時所作的選擇保持一致，它們都是波包振幅上被

標記的一點。

利用輻角的定義

對兩邊求微分，可以得到

所以公式中

代入點的運動方程中，可以將其寫為

這里我們用到了復平面上的幾何關系。從運動方程中，我們能注意到它需要

的時間從階梯內出來，重新回到x < 0部分，然后繼續向左方運動。如果定義

可以改寫

所以延遲時間

它意味著粒子的反射波確實在階梯內部駐留了一段時間，形成物理意義上的反射波。這個駐留的時間差體現在波函數上，即在計算中得到的額外的相位偏移，所以我們又稱之為延遲相位。

（張朝陽推導反射波包的延遲時間）

據了解，《張朝陽的物理課》于每周周五、周日中午12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關注“張朝陽的物理課”賬號，查看課程中的“知識點”短視頻。此外，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期物理課程的詳細文章。

本節課相關視頻如下：

波包入射的情況

反射波包的延遲

入射波包的群速度

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